Regra de Cramer

A Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um Sistema Linear, contudo, ela só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. Embora exista casos onde é possível fazer a substituição de uma entidade que não apareça por 0x (por exemplo, 2y+z = 3, pode-se colocar 0x+2y+z = 3, caso essa construção seja de um sistema com três equações) e similares, muitas vezes essa substituição não será suficiente e pode ser equivocada caso, como veremos a seguir, a determinante da matriz a ser formada dê o valor igual a zero. (Lembre-se, se uma coluna inteira ou uma linha for zero, a determinante da matriz será nula).

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas, devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta (formada apenas pelos módulos das incógnitas) e depois substituímos pelos termos independentes cada uma das colunas (por exemplo, se for uma matriz de ordem 3, teremos três substituições e quatro determinantes, isto é, uma determinante da equação incompleta sem substituição, D, e três determinantes de cada modificação das colunas, D1, D2, D3 e assim por diante).

Feito isto, teremos que a primeira incógnita, X1, será dada pela divisão de D1 por D, a segunda incógnita, X2, será dada pela divisão D2 por D, a terceira por D3 por D e assim por diante. 

Exemplo:

X+2Y+Z = 8

2X-Y+Z = 3

3X+Y-Z = 2

A matriz da equação incompleta será: 

 Os termos independentes serão dados pela matriz:

Pela Regra de Sarrus, descobriremos que o determinante da matriz A será 15. (D = 15)

Agora, faremos a primeira substituição:

Novamente iremos utilizar da Regra de Sarrus e descobriremos que a determinante da matriz A¹ (D1) será 15.

Partiremos para a segunda substituição. É válido ressaltar que assim que houver uma nova substituição, a coluna anterior volta com os elementos de origem.

A determinante de A², D2, por Sarrus, será 30.

Por fim, a última substituição:

D3, determinante de A³, será 45.

Encontrados todas as determinantes das quatro matrizes, vamos descobriremos os valores, respectivamente, de X, Y e Z.

O valor da incógnita X será dada por D1/D, isto é, 15/15, que dará 1.
O valor da incógnita Y será dada por D2/D, isto é, 30/15, que dará 2.
E, para finalizar, a incógnita Z será dada por D3/D, isto é, 45/15, que dará 3.

Para tirarmos a prova, basta substituir o sistema linear dado:

1+2+3 = 8

2-2+3 = 3

3+2-3 = 2

Por tanto, foi provada que a Regra de Cramer foi válida.