Matrizes e Determinantes

Matriz:

Em uma matriz, temos que: S_mn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

M ou I representa a linha, N ou J representa a coluna. Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto S_mn ou A_ij associa um número real (ou complexo).

Notação geral: Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Propriedades:

• Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
• Diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos: a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ...;
• Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas;
• Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero;
• Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal;
• Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Podendo ter alguns elementos da diagonal nulos;
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna;
• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha;
• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A;
• Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais

Soma de Matrizes:

Só pode ser feita por matrizes de mesma ordem MxN\IxJ, onde somamos os elementos que estejam localizados no mesmo lugar.

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem

A + (-A) = 0

Subtração de Matrizes:

Só pode ser feita por matrizes de mesma ordem MxN\IxJ, onde subtraímos os elementos que estejam localizados no mesmo lugar.

Matriz transposta

É quando as linhas passam a ser as colunas.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(A^t)^t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA)^t = k (A^t)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)^t = A^t + B^t

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)^t = B^t A^t

Multiplicação de Matrizes

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, onde Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Devemos multiplicar a linha da primeira pela coluna da segunda. A nova matriz que formará, terá o número de linhas da primeira e o número de coluna da segunda.

M1: Nem sempre vale a comutatividade:

Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas

Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B,

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+A^t é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-A^t é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T

Matriz inversa

   Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = I_n , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A^-1 .

Determinantes de Matrizes:

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

• Ordem 1:  Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a_11, ou seja, o próximo número real.
• Ordem 2:  Dada a matriz de ordem 2, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
• Ordem 3: O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominadoregra de Sarrus.
• 1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
• 2º passo:Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal
• 3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal
• 4° passo: subtrair o resultado do produto da diagonal secundário do resultado do produto da diagonal principal.

Algumas propriedades:

• Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
• Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
• Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
• Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
• Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
• Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
• Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
• O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
• Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
• Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,  det(AB) = det A . det B
• Se k pertence a R, então det (k.A) = Kⁿ onde n = det A.